Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

1

2

x+b的圖象過點A（0，3），點p是該直線上的一個動點，過點P分別作PM垂直x軸于點M，PN垂直y軸于點N，在四邊形PMON上分別截�。篜C=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP．
（1）b=

 

；
（2）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；
（3）在直線y=-

1

2

x+b上是否存在這樣的點P，使四邊形BCDE為正方形？若存在，請求出所有符合的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得b的值；
（2）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得PM與ON，PN與OM的關(guān)系，根據(jù)PC=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP，可得PC與OE，CM與NE，BM與ND，OB與PD的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BE與CD，BC與DE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)，可得BE與BC的關(guān)系，∠CBM與∠EBO的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得OE與BM的關(guān)系，可得P點坐標(biāo)間的關(guān)系，可得答案．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=-

1

2

x+b的圖象過點A（0，3），
3=-

1

2

×0+b，
解得b=3．
故答案為：3；
（2）證明：過點P分別作PM垂直x軸于點M，PN垂直y軸于點N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四邊形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=

1

3

MP，MB=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NO=

1

3

NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，

OB=PD ∠O=∠CPD OE=PC

，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，

MB=ND ∠M=∠N MC=NE

，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形；
（3）設(shè)P點坐標(biāo)（x，y），
當(dāng)△OBE≌△MCB時，四邊形BCDE為正方形，
OE=BM，
即

1

3

y=

1

3

x，
x=y．
P點在直線上，

y=- 1 2 x+3 y=x

，
解得

x=2 y=2

在直線y=-

1

2

x+b上存在這樣的點P，使四邊形BCDE為正方形，P點坐標(biāo)是（2，2）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．