Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y₁=-x²關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可得到拋物線C₂．且C₁和C₂交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O和點(diǎn)Q．
（1）求拋物線C₂的表達(dá)式；
（2）定義：像C₁和C₂兩條拋物線，將其中一條只通過直線x=m對(duì)稱得另一條，且∠OPQ=90°，這樣的拋物線稱為和諧線，那么拋物線C₁和C₂是和諧線嗎？請(qǐng)說明理由； 
（3）在（2）的定義條件下，求拋物線y=x²-2x-3的和諧線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形左加右減，可得函數(shù)解析式；
（2）①根據(jù)兩條拋物線，將其中一條只通過直線x=m對(duì)稱得另一條，且∠OPQ=90°，這樣的兩條拋物線成為“和諧線”，可得△OPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
②根據(jù)兩條拋物線，將其中一條只通過直線x=m對(duì)稱得另一條，且∠OPQ=90°，這樣的兩條拋物線成為“和諧線”，可得△EPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，∵O與Q關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴Q（2，0），
∴將拋物線C₁向右平移2個(gè)單位得到拋物線C₂：y₁=-（x-2）²；

（2）拋物線C₁和C₂是和諧線，理由如下：如圖2，
由∠OPQ=90°，OP=PQ，得
∠POG=45°，OG=QG=$\frac{1}{2}$OQ=m，
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²，即P（m，-m²）．
由∠POG=45°，∠OGP=90°，得
OG=GP，即|m|=|-m²|，
解得m=0（舍）、m=1、或m=-1（舍去），
∴點(diǎn)O與點(diǎn)Q關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴拋物線C₁與拋物線C₂關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
綜上所述：當(dāng)C₁和C₂是和諧線；
②如圖3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，拋物線y=x²-2x-3的和諧線y=（x-1-2m）²-4，
由△PEQ是等腰直角三角形，得△PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ．
當(dāng)x=1+$\frac{m}{2}$時(shí)，y=$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，即P（1+$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$-4），
FP=--（$\frac{{m}^{2}}{4}$-4）=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．解得m=2，m=0（舍），
拋物線y=x²+2x-3的和諧線y=（x-1）²-4，
同理向左對(duì)稱，m=-2，
拋物線y=x²+2x-3的和諧線y=（x+3）²-4，
綜上所述：拋物線y=-x²-2x+3的和諧線y=（x-1）²-4或y=（x+3）²-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用兩條拋物線成為“和諧線”得出△EPQ是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．