Question

如圖，已知直線y=

3

4

x+3與雙曲線y=

k

x

相交于C、D兩點，與x軸，y軸分別相交于A、B兩點，若CD=3，則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數與一次函數的交點問題

專題：探究型

分析：將y=

3

4

x+3和y=

k

x

組成方程組，分別建立關于x和y的一元二次方程，求出C、D的水平距離和垂直距離表達式，利用勾股定理建立關于k的方程，解答即可．

解答：解：將y=

3

4

x+3和y=

k

x

組成方程組得，

y= 3 4 x+3 y= k x

，
整理得，

3

4

x+3=

k

x

，
即3x²+12x-4k=0，
則C、D的水平距離為|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(-4)2-4(- 4 3 k)

=

16+ 16k 3

；
將y=

3

4

x+3和y=

k

x

組成方程組得，

y= 3 4 x+3 y= k x

，
整理得4y²=3k+12y，
即4y²-12y-3k=0，
則C、D的垂直距離為|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

32-4(- 3 4 k)

=

9+3k

；
由勾股定理得，16+

16

3

k+9+3k=3²；
解得，k=-

48

25

．
故答案為-

48

25

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，將此題轉化為水平距離和垂直距離是解答的關鍵．