Question

1．如圖，直線AB過x軸上一點A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B，C兩點，B點的坐標為（1，1）．
（1）求直線AB的表達式及拋物線y=ax²的表達式；
（2）求點C的坐標；
（3）求S_△COB；
（4）若拋物線上有一點D（在第一象限內），使得S_△AOD=S_△COB，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求直線AB的解析式為y=-x+2；然后把B（1，1）代入y=ax²得a=1，從而得到拋物線解析式；
（2）通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$可得C點坐標；
（3）根據三角形面積公式，利用S_△COB=S_△COA-S_△AOB進行計算；
（4）根據二次函數圖象上點的坐標特征，可設D（t，t²）（t＞0），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2•t²=3，然后解出t的值即可得到D點坐標．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（2，0），B（1，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-x+2；
把B（1，1）代入y=ax²得a=1，
所以拋物線解析式為y=x²；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以C（-2，4）；
（3）S_△COB=S_△COA-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=3；
（4）設D（t，t²）（t＞0），
∵S_△AOD=S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•2•t²=3，解得t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴D（$\sqrt{3}$，3）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了待定系數法求一次函數解析式．