Question

15．如圖，已知△ABC內接于⊙O，過點B作直線EF∥AC，又知∠ACB=∠BDC=60°，AC=$\sqrt{3}$cm．
（1）請?zhí)骄縀F與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求⊙O的周長．

Answer 1

分析 （1）延長BO交AC于H，如圖，先證明△ABC為等邊三角形，利用點O為△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根據切線的判定定理即可得到EF為⊙O的切線；
（2）連結OA，如圖，根據等邊三角形的性質得∠OAH=30°，AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再在Rt△AOH中，利用三角函數(shù)和計算出OA=1，然后根據圓的周長公式計算．

解答 解：（1）EF與⊙O相切．理由如下：
延長BO交AC于H，如圖，
∵∠BAC=∠BDC=60°，
而∠ACB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵點O為△ABC的外心，
∴BH⊥AC，
∵AC∥EF，
∴BH⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；
（2）連結OA，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴OA平分∠ABC，
∴∠OAH=30°，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AOH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{cos30°}$=1，
∴⊙O的周長=2π×1=2π（cm）．

點評 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的判定與性質．