Question

已知拋物線y=x²+kx+2k-4，若拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于點C（A為定點且點A在B的左側），且S_△ABC=15．求k的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：首先判斷是否存在第四個交點，由題干條件|x₁|＜|x₂|或者|x₁|＜|x₂|，顯然拋物線的對稱軸不是y軸，即C點不可能是拋物線的頂點（因為點C不在拋物線的對稱軸上），所以解題的關鍵就轉化為如何求k的值，可以從△ABC的面積入手．先得到k的取值范圍，進而通過△ABC的面積求出k的值．

解答：解：令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判別式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵無論k為什么實數(shù)，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即拋物線總與x軸有交點．
由求根公式得x=

-k±|k-4|

2

，
當k≥4時，x=

-k±(k-4)

2

，x₁=

-k+(k-4)

2

=-2，x₂=

-k-(k-4)

2

=-k+2；
當k＜4時，x=

-k±(4-k)

2

，x₁=

-k+(4-k)

2

=-k+2，x₂=

-k-(4-k)

2

=-2．
即拋物線與x軸的交點分別為（-2，0）和（-k+2，0），
故點A（-2，0）是x軸上的定點．
當-2＜-k+2，即k＜4時，A點坐標為（-2，0），B為（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根據(jù)S_△ABC=15，得

1

2

AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴

1

2

（4-k）（4-2k）=15，
化簡整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．

點評：該題的難度較大，主要涉及了：二次函數(shù)與方程的關系以及不等式的應用等綜合知識，k的取值范圍的確定是本題的難點所在．