Question

如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．
（1）求AC、AD的長；
（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,圓周角定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，運用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，
（2）連接OC，由角的關系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直線PC與⊙O相切．

解答：解：（1）①如圖，連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC=

AB2-BC2

=

102-52

=5

3

（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=

2

2

AB=

2

2

×10=5

2

cm；

（2）直線PC與⊙O相切，
理由：連接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直線PC與⊙O相切．

點評：本題主要考查了切線的判定，勾股定理和圓周角，解題的關鍵是運圓周角和角平分線及等腰三角形正確找出相等的角．