Question

16．如圖，以銳角△ABC的最短邊AB的中點O為圓心，AB長為直徑作⊙O，交BC于E，連接AE，半徑OD⊥弦AE于G，連接AD，BD．
（1）若弦AE=12，OG=2.5，求⊙O的半徑及弦BE的長；
（2）∠ABF+∠BAF與∠ADF的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若$\frac{{{S_{△BFE}}}}{{{S_{△BOD}}}}=\frac{2}{5}$，求$\frac{FB}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）易證OG是△ABE的中位線，即可得到BE的值，然后在Rt△AEB中運用勾股定理即可求出AB，從而可求出⊙O的半徑；
（2）根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠AEB=90°，由此可得∠BFE＜∠ADB．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ABF+∠BAF=∠BFE，即可得到∠ABF+∠BAF＜∠ADB；
（3）易證∠OBD=∠ODB=∠DBC，從而可證到△BFE∽△BAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=（$\frac{BF}{AB}$）²，要求$\frac{FB}{AB}$的值，只需求$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$，由O為AB中點可得S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABD，結(jié)合條件即可解決問題．

解答 解：（1）∵OD⊥AE，∴AG=GE．
又∵OA=OB，
∴OG∥BE，OG=$\frac{1}{2}$BE．
∵OG=2.5，∴BE=5．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴⊙O的半徑為$\frac{13}{2}$，弦BE的長為5；

（2）∠ABF+∠BAF＜∠ADB．
理由如下：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠BFE＜90°，
∴∠BFE＜∠ADB．
∵∠ABF+∠BAF=∠BFE，
∴∠ABF+∠BAF＜∠ADB；

（3）∵O為AB中點，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABD．
∵$\frac{{{S_{△BFE}}}}{{{S_{△BOD}}}}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=$\frac{1}{5}$．
∵OB=OD，OD∥BE，
∴∠OBD=∠ODB=∠DBC．
又∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴△BFE∽△BAD，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=（$\frac{BF}{AB}$）²=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理、三角形中位線定理、圓周角定理、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證到△BFE∽△BAD是解決第（3）小題的關(guān)鍵．