Question

已知直線y=x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過A和原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx(a＜0）的頂點(diǎn)B在直線AC上.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）以B點(diǎn)為圓心，以AB為半徑作⊙B，將⊙B沿x軸翻折得到⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若E為⊙B優(yōu)弧上一動點(diǎn),連結(jié)AE、OE，問在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣2x；

（2）相切，理由見解析；

（3）存在這樣的點(diǎn)M ，M的坐標(biāo)為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)過A、C兩點(diǎn)的直線的解析式即可求出A，C的坐標(biāo)，根據(jù)A，O的坐標(biāo)即可得出拋物線的對稱軸的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，聯(lián)立上述兩式即可求出拋物線的解析式．

（2）直線與圓的位置關(guān)系無非是相切與否，可連接AD，證AD是否與AC垂直即可．由于B，D關(guān)于x軸對稱，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC與圓D相切．

（3）根據(jù)圓周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值和橫坐標(biāo)的絕對值的比為tan30°，由此可得出x，y的比例關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．（要注意的是本題要分點(diǎn)M在x軸上方還是下方兩種情況進(jìn)行求解）．

試題解析：（1）根據(jù)題意知：A（﹣6，0），C（0，6）

∵拋物線y=ax2+bx（a＜0）經(jīng)過A（﹣6，0），0（0，0）．

∴對稱軸x==﹣3，b=6a…①

當(dāng)x=﹣3時，代入y=x+6得y=﹣3+6=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）．

∵點(diǎn)B在拋物線y=ax2+bx上，

∴3=9a﹣3b…②

結(jié)合①②解得a=﹣，b=﹣2，

∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣2x；

（2）相切

理由：連接AD，

∵AO=OC

∴∠ACO=∠CAO=45°

∵⊙B與⊙D關(guān)于x軸對稱

∴∠BAO=∠DAO=45°

∴∠BAD=90°

又∵AD是⊙D的半徑，

∴AC與⊙D相切．

∵拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣2x，

∴函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），

由于D、B關(guān)于x軸對稱，

則BD=3×2=6；

（3）存在這樣的點(diǎn)M．

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）

∵∠AEO=∠ACO=45°

而∠MOA：∠AEO=2：3

∴∠MOA=30°

當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，=tan30°=，

∴y=﹣x．

∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2﹣2x上，

∴﹣x=﹣x2﹣2x，

解得x=﹣6+，x=0（不合題意，舍去）

∴M（﹣6+，﹣1+2）．

當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，=tan30°=，

∴y=x，

∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2﹣2x上．

∴x=﹣x2﹣2x，

解得x=﹣6﹣，x=0（不合題意，舍去）．

∴M（﹣6﹣，﹣1﹣2），

∴M的坐標(biāo)為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．

．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．