Question

19．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．
（1）求證：$\frac{AF}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）求證：AF⊥FM；
（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）先證明A、B、M、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可證明∠AFM=90°，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）由（1）的結(jié)論即可證明．
（3）由：A、B、M、F四點(diǎn)共圓，推出∠BAM=∠EFM，因?yàn)椤螧AM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CN}{CD}$，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAF=∠MBE，
∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓，
∴∠ABM+∠AFM=180°，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM=∠FMA=45°，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，
∴$\frac{AF}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
補(bǔ)充不用四點(diǎn)共圓的方法：由△EAF∽△EBM，推出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EF}{EM}$，即$\frac{AE}{EF}$=$\frac{BE}{EM}$，即可推出△AEB∽△FEM，推出∠EMF=∠ABE=45°，由此即可解決問(wèn)題．
（2）由（1）可知∠AFM=90°，
∴AF⊥FM．
（3）結(jié)論：∠BAM=22.5時(shí)，∠FMN=∠BAM
理由：∵△AEB∽△FEM
∴∠BAE=∠EFM，
∵∠BAM=∠FMN，
∴∠EFM=∠FMN，
∴MN∥BD，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CN}{CD}$，∵CB=DC，
∴CM=CN，
∴MB=DN，
在△ABM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠ADN=90°}\\{BM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN，
∴∠BAM=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠BAM=22.5°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問(wèn)題，題目有點(diǎn)難，用到四點(diǎn)共圓．