Question

已知：關于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設y=x₂-x₁-2，試探究y與k之間的函數關系．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系

專題：

分析：（1）根據一元二次方程的定義得k≠0，再計算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據非負數的性質即k的取值得到△＞0，則可根據判別式的意義得到結論；
（2）利用根與系數的關系和代數式變形求得x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x2x1

=

2k+1

k

=2+

1

k

，所以將其代入y=x₂-x₁-2，即可得到y(tǒng)與k之間的函數關系．

解答：（1）證明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+1）
=4k²+4k+1
=（2k+1）²，
∵k＞0，
∴（2k+1）²＞0，
∴△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵關于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），則x₂-x₁＞0．
∴x₂+x₁=

4k+1

k

，x₂•x₁=

3k+1

4

，
∴y=x₂-x₁-2=

(x2+x1)2-4x2x1

-2=

(4k+1)2 k2 -4× 3k+1 k

-2=

2k+1

k

-2=

1

k

，即y與k之間的函數關系是y=

1

k

．

點評：本題考查了根的判別式，根與系數的關系．解答（2）時，將根與系數的關系和代數式變形相結合是解題中經常用到的方法．