Question

1．如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．
（1）求證：AE•BC=AD•AB；
（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明△EAD∽△ABC即可解決問題．
（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得$\frac{DM}{AF}$=$\frac{BM}{BA}$，求出DM、BM即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠C=90°，
∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE是切線，
∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴AE：AB=AD：BC，
∴AE•BC=AD•AB．

（2）解：作DM⊥AB于M，
∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•sin∠BAC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵OE⊥AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=4，OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{AO}$=$\frac{3}{5}$，
∵sin∠OAD=sin∠MAD=$\frac{DM}{AD}$，
∴DM=$\frac{12}{5}$，AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，BM=AB-AM=$\frac{34}{5}$，
∵DM∥AE，
∴$\frac{DM}{AF}$=$\frac{BM}{BA}$，
∴AF=$\frac{60}{17}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．