Question

9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²平移后經(jīng)過A（-3，0）、B（1，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求平移后的拋物線解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求證：∠CAD=∠OCB；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得△ACE與△OCD相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；再根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理，可得三角形三邊的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)平移后的解析式為y=x²+bx+c，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
平移后的拋物線解析式為y=x²+2x-3，
y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，-4）；
（2）證明：當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，即C（0，-3）．
由勾股定理，得
AD=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（-4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，DC=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（0+3）^{2}（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
$\frac{AD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{CD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，$\frac{AC}{OC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AD}{BC}$=$\frac{CD}{OB}$=$\frac{AC}{OC}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACD∽△COB，
∴∠CAD=∠OCB；
（3）如圖：

設(shè)E（b，0），∠EAC=∠OCD=135°，
DC=$\sqrt{（0+1）^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（0+3）^{2}（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OC=3，AE=-3-b，
當(dāng)△AEC∽△CDO時(shí)，$\frac{AE}{CD}$=$\frac{AC}{OC}$，即$\frac{-3-b}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3}$，
解得b=-5，即E₁（-5，0）；
當(dāng)△AEC∽△COD時(shí)，$\frac{AE}{CO}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{-3-b}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，
解得b=-12，
即E₂（-12，0）．
綜上所述：在x軸上存在點(diǎn)E，使得△ACE與△OCD相似，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（-5，0），E₂（-12，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)圖象平移的性質(zhì)設(shè)出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵．