Question

如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動．
（1）如果點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm²；
（2）如果點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，并且點P到B點后又繼續(xù)在BC邊上前進，點Q到點C后又繼續(xù)在CA邊上前進，則經(jīng)過幾秒鐘后，△PCQ的面積等于12.6cm²．

Answer 1

分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，根據(jù)△PBQ的面積等于8cm²．得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求出方程的解即可；
（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，△PCQ的面積等于12.6cm²．那么可分以下情況討論設(shè)經(jīng)過y秒后，△PCQ的面積等于12.6cm²．
（1）0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）時，連接PC，求出CQ=8-2y，PB=6-y，根據(jù)三角形的面積公式得出

1

2

×（8-2y）×（6-y）=12.6，求出方程的解即可；（2）4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），過點P作PM⊥AC，交AC于點M，求出CQ=2y-8，AP=y，根據(jù)sinA=

BC

AC

=

4

5

，推出

PM

y

=

4

5

，求出PM=

4

5

y，根據(jù)三角形的面積公式求出

1

2

×（2y-8）×

4

5

y=12.6，求出方程的解即可；（3）6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），過點Q作QD⊥BC，交BC于點D，根據(jù)QD∥AB得出

QD

AB

=

CQ

AC

，代入求出QD=

6y-24

5

，根據(jù)三角形的面積公式得出方程

1

2

×（14-y）×

6y-24

5

=12.6，求出方程的解即可．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△PBQ的面積等于8cm²．

1

2

×（6-x）×2x=8，
解得x₁=2 x₂=4，
答：經(jīng)過2或4秒后，△PBQ的面積等于8cm²．

（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，△PCQ的面積等于12.6cm²．
①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）時，如圖：（1）連接PC，
則CQ=8-2y，PB=6-y，
∵S_△PQC=

1

2

CQ×PB，
∴

1

2

×（8-2y）×（6-y）=12.6，
解得y₁=5+

340

5

＞4（不合題意，舍去），y₂=5-

340

5

；

②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如圖（2）
過點P作PM⊥AC，交AC于點M，
由題意可知CQ=2y-8，AP=y，
在直角三角形ABC中，sinA=

BC

AC

=

4

5

，
在直角三角形APM中，sinA=

PM

AP

，
即

PM

y

=

4

5

，
∴PM=

4

5

y，
∵S_△PCQ=

1

2

CQ×PM，
∴

1

2

×（2y-8）×

4

5

y=12.6，
解得y₁=2+

79

2

＞6（舍去），y₂=2-

79

2

＜0（負值舍去）；

③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如圖（3），
過點Q作QD⊥BC，交BC于點D，
∵∠B=90°，
∴QD∥AB，
∴

QD

AB

=

CQ

AC

，即

QD

6

=

2y-8

10

，
∴QD=

6y-24

5

，
∵S_△CQP=

1

2

×CP×QD，
∴

1

2

×（14-y）×

6y-24

5

=12.6
解得：y₁=7，y₂=11（不合題意，舍去）
答：當（5-

2 85

5

）秒或7秒后，△PCQ的面積等于12.6cm²

點評：應(yīng)注意應(yīng)先表示出兩直角三角形的面積所需要的邊和高，然后分情況進行討論．