Question

18．已知拋物線y=mx²-4mx+4m-2（m是常數(shù)）．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若m＞$\frac{2}{5}$，且拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由于拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，而拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），則利用拋物線的對(duì)稱性討論：當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0）；當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，0）；當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（5，0）等，然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出對(duì)應(yīng)的m的值，再利用m＞$\frac{2}{5}$可確定滿足條件的m的值，從而得到拋物線解析式．

解答 解：（1）y=mx²-4mx-2
=m（x-2）²-2-4m，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2-4m）；
（2）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為直線x=2，
所以當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），把（1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m-4m+4m-2=0，解得m=2，此時(shí)拋物線解析式為y=2x²-8x+6；
當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，0），把（0，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得4m-2=0，解得m=$\frac{1}{2}$，此時(shí)拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
當(dāng)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（5，0），把（-1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m+4m+4m-2=0，解得m=$\frac{2}{9}$，而m＞$\frac{2}{5}$，故舍去，
所以滿足條件的拋物線解析式為y=2x²-8x+6或y=$\frac{1}{2}$x²-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），對(duì)稱軸直線x=-$\frac{2a}$，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-$\frac{2a}$時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-$\frac{2a}$時(shí)，y取得最小值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．