Question

12．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度數(shù)；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若設(shè)∠AOE=x°．
①則∠EOF=$\frac{1}{2}x$．（用含x的代數(shù)式表示）
②求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)頂角的性質(zhì)可知∠BOD=70°，從而可求得∠FOB=20°，由角平分線的定義可知∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，最后根據(jù)∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；
（2）①先證明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分線的定義可知∠FOE=$\frac{1}{2}x$；
②∠BOE=∠FOE-∠FOB可知∠BOE=$\frac{1}{2}$x-15°，最后根據(jù)∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，從而可求得∠AOC的度數(shù)．

解答 解：（1）由對(duì)頂角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，
∴∠FOB=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°，
（2）①∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=∠AOE=x，
∵OF平分∠COE，
∴∠FOE=$\frac{1}{2}$x，
故答案為：$\frac{1}{2}x$；
②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$x-15°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∴$\frac{1}{2}$x-15°+x=180°，
解得：x=130°，
∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．