Question

如圖，已知在直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）當BE經過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；

（3）連結EF，設△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

 

Answer 1

見解析

解析:（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．

設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

則，

解得，

∴．

（2）由=．

∴頂點坐標為G（1，）．

過G作GH⊥AB，垂足為H．

則AH=BH=1，GH=﹣2=．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位線．

∴EA=2GH=．

過B作BM⊥OC，垂足為M．則MB=OA=AB．

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM=EA=．

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，

∴CF=FM+CM=．

3）設CF=a，則FM=a-1或1- a，

        ∴BF²= FM²+BM²=(a-1)²+2²=a²-2a+5 .

        ∵△EBA≌△FBM，∴BE=BF.

        則，                  

        又∵，                

          ∴，即，

∴當a=2（在0<a<3范圍內）時，

          ∴ .