Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=1，連接DE、CD，點(diǎn)M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點(diǎn)，連接MP、PN、MN．

（1）求證：△PMN是等腰三角形；

（2）將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在邊AC兩側(cè)時(shí)，求證：△PMN是等腰三角形；

②當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到第一次點(diǎn)D、E、C在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論PM=PN；

（2）①先證明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根據(jù)三角形中位線定理可得結(jié)論；

②如圖4，連接AM，計(jì)算AN和DE、EM的長(zhǎng)，如圖3，證明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根據(jù)勾股定理計(jì)算CM的長(zhǎng)，可得結(jié)論

（1）如圖1，∵點(diǎn)N，P是BC，CD的中點(diǎn)，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（2）①如圖2，∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∵點(diǎn)M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點(diǎn)，

∴PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

②當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到第一次點(diǎn)D、E、C在一條直線上時(shí)，如圖3，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=CE，

如圖4，連接AM，

∵M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，AB=AC，

∴A、M、N共線，且AN⊥BC，

由勾股定理得：AN==4，

∵AD=AE=1，AB=AC=6，

∴=，∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△AEC，

∴，

∴，

∴AM=，DE=，

∴EM=，

如圖3，Rt△ACM中，CM===，

∴BD=CE=CM+EM=．