Question

如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，－4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值；

（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）把點(diǎn)C（0，－4），B（2，0）分別代入中，

得，解得。

∴該拋物線的解析式為。

（2）令y=0，即，解得x₁=－4，x₂=2。

∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12。

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x。

∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。

∴，即，化簡得：。

∴

。

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S_△PCE的最大值為3。

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：

①當(dāng)DM=DO時(shí)，如圖①所示，

∵DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°�！唷螦DM=90°。

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－2）。

②當(dāng)MD=MO時(shí)，如圖②所示，

過點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3。

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，－3）。

③當(dāng)OD=OM時(shí)，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)O到AC的距離為×4=，即AC上的點(diǎn)與點(diǎn)O之間的最小距離為。

∵＞2，∴OD=OM的情況不存在。

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－2，－2）或（－1，－3）。

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。

（3）△OMD為等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三種情況討論即可。