Question

如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在圓O上，C為弧BM的中點．
（1）求證：CB∥MD；
（2）若BC=4，AB=6，求BN的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理，由CD⊥AB得到弧BC=弧BD，加上BC弧=CM弧，則BD弧=CM弧，于是根據(jù)圓周角定理可得到∠1=∠M，然后根據(jù)平行線的判定即可得到CB∥DM；
（2）連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，再證明Rt△BCN∽Rt△BAC，然后利用相似比可計算出BN的長．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴弧BC=弧BD，
∵C為弧BM的中點，
即BC弧=CM弧，
∴BD弧=CM弧，
∴∠1=∠M，
∴CB∥DM；
（2）解：連接AC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BNC=90°，BD弧=BC弧，
∴∠BCD=∠BAC，
∴Rt△BCN∽Rt△BAC，
∴

BN

BC

=

BC

AB

，即

BN

4

=

4

6

，
∴BN=

8

3

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．