Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一梯形ABCO，頂點(diǎn)C在x正半軸上，A、B兩點(diǎn)在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)（﹣2，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，過點(diǎn)P作直線l，使直線l和x軸向正方向夾角為30°．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，直線l掃過梯形ABCO的面積為S掃．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)t＝2秒時(shí)，求S掃的值；

（3）求S掃與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出直線l掃過梯形ABCO面積的時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐標(biāo)為（5﹣2，0）．

【解析】

（1）兩底的差的一半就是A的橫坐標(biāo)；過A、B作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中根據(jù)OA的長及兩底的差便可求出梯形的高即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)．得出A點(diǎn)坐標(biāo)后向右平移3個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)t＝2時(shí)，P、O兩點(diǎn)重合，如果設(shè)直線l與AB的交點(diǎn)為D，那么AD＝2，而AD邊上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可求出△ADO的面積及直線l掃過的面積．

（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)P在原點(diǎn)左側(cè)，即當(dāng)0≤t＜2時(shí)，重合部分是個(gè)三角形，如果設(shè)直線l與AO，AB分別交于E，F，可根據(jù)△AEF∽△AOD，用相似比求出其面積．即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)P在O點(diǎn)右側(cè)（包括和O重合），而F點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即當(dāng)2≤t＜3時(shí)，掃過部分是個(gè)梯形，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法即可得出直線l掃過部分的面積．也就能得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．

③當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)（包括和C點(diǎn)重合），F點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)（包括和B點(diǎn)重合），即當(dāng)3≤t≤7時(shí)，掃過部分是個(gè)五邊形，可用梯形ABCO的面積減去△MPC的面積來得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．

（1）過A作AD⊥OC于D，過B作BE⊥OC于E，則ADEB是矩形．

∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．

∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．

∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．

∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．

∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．

（2）當(dāng)t＝2時(shí)，P、O兩點(diǎn)重合，如果設(shè)直線l與AB的交點(diǎn)為D，那么AD＝2，而AD邊上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴S掃==．

（3）分三種情況討論：①當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖1，△AEF∽△AOD，，∴S掃t2；

②當(dāng)2≤t＜3時(shí)，如圖2，S掃＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S掃；

③當(dāng)3≤t≤7時(shí)，如圖3，過B作直線EB∥直線l交OC于E．

∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．

∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S掃＝4S△CPM＝4，∴S掃t2

綜上所述： ．

∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐標(biāo)為（5﹣2，0）．