Question

周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明共有幾個？

Answer 1

分析：設(shè)存在如上的直角三角形，設(shè)兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意可得出關(guān)于a、b、c的方程，由勾股定理可判斷出c的取值范圍，進(jìn)而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合條件的未知數(shù)的對應(yīng)值即可．

解答：解：設(shè)存在如上的直角三角形，設(shè)兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
∵a+b+c=6（1）；
a²+b²=c²（2）
∴（a+b）²=（6-c）²（3）
∵

1

2

ab=9-3c為整數(shù)，
∴c為整數(shù)或以3為分母的分?jǐn)?shù)；
∵直角三角形斜邊最長則有c＞2，根據(jù)三角形三邊邊長規(guī)律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c應(yīng)為以3為分母的分?jǐn)?shù)，c=

7

3

或

8

3

；
當(dāng)c=

7

3

時，根據(jù)（1）（2）式有：b=6或

4

3

，a=-

7

3

或

7

3

，不合題意．
當(dāng)c=

8

3

時，根據(jù)（1）（2）式有：b=

5- 7

3

，a=

5+ 7

3

或a=

5- 7

3

，b=

5+ 7

3

，
∴這樣的直角三角形存在，恰有一個，兩條直角邊為

5- 7

3

與

5+ 7

3

，斜邊為

8

3

．

點評：本題考查的是非一次不定方程及勾股定理，根據(jù)題意判斷出c的值是解答此題的關(guān)鍵．