Question

12．如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y=-x+4上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長PQ的最小值為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B（0，4），A（4，0），則可判斷△OAB為等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，OH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由PQ為⊙O的切線得到OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ=$\sqrt{{OP}^{2}{-OQ}^{2}}$=$\sqrt{{OP}^{2}-4}$，所以當(dāng)OP最小時，PQ最小，根據(jù)垂線段最短得到OP=OH時，OP最小，即可計(jì)算出切線長PQ的最小值=2．

解答 解：連結(jié)OP，OQ，作OH⊥AB于H，如圖，
當(dāng)x=0時，y=-x+4=4，則B（0，4）；當(dāng)y=0時，-x+4=0，解得x=4，則A（4，0），
∵OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∵OH⊥AB，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵PQ為⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{{OP}^{2}{-OQ}^{2}}$=$\sqrt{{OP}^{2}-4}$，
∴當(dāng)OP最小時，PQ最小，
而OP=OH時，OP最小，
∴切線長PQ的最小值=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{-2}^{2}}$=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．