Question

4．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，連結(jié)AE、BF交于點H．試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 AE=BF，AE⊥BF，首先證△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可．

解答 解：AE=BF，AE⊥BF，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BHE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷和性質(zhì)，熟記正方形的各種性質(zhì)以及全等三角形的各種判斷方法是解題的關(guān)鍵．