Question

1．如圖，二次函數(shù)$y=\frac{1}{2}{（x-3）^2}-1$的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求點A，B，D的坐標；
（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與該圖象的對稱軸交于點E，連接AE，AD，求∠DAE的大��；
（3）設(shè)點E關(guān)于點D的對稱點為F，分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作兩個圓，該二次函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使得過P向兩個圓各作一條切線PM，PN（M，N為切點），且PM，PN剛好可以作為一個斜邊為4的直角三角形的兩條直角邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出點A、B坐標，根據(jù)頂點式可以知道點D坐標．
（2）先求出直線CD解析式，根據(jù)OE⊥CD求出直線OE解析式，再求出點E坐標，利用兩點間距離公式求出線段AE²，AD²，DE²，由勾股定理的逆定理證明△EAD是直角三角形即可解決問題．
（3）存在．設(shè)點P為（m，n），求出PM²，PN²，根據(jù)PM²+PN²=4²，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得x=3$±\sqrt{2}$，
∴點A坐標（3-$\sqrt{2}$，0），點B坐標（3+$\sqrt{2}$，0），
令x=0則y=$\frac{7}{2}$，
∴點C坐標（0，$\frac{7}{2}$），頂點D坐標（3，-1）．
（2）設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
∵OE⊥CD，
∴直線OE解析式為y=$\frac{2}{3}$x，
∴x=3時，y=2，
∴點E坐標（3，2），
∴AE²=（$\sqrt{2}$）²+2²=6，AD²=（$\sqrt{2}$）²+1²=3，DE²=3²=9，
∴AE²+AD²=DE²，
∴∠EAD=90°．
（3）存在．
理由：由題意E（3，2），F(xiàn)（3，-4），設(shè)點P為（m，n），
∵點P在拋物線上，
∴n=$\frac{1}{2}$（m-3）²-1      ①
∴PM²=PE²-1²=（m-3）²+（n-2）²-1，PN²=PF²-1²=（m-3）²+（n+4）²-1，
∵PM²+PN²=4²，
∴（m-3）²+（n-2）²-1+（m-3）²+（n+4）²-1=4²，
整理得到（m-3）²+（n+1）²=0      ②
由①②得到m=3，n=-1，
∴點P坐標（3，-1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)．兩點間距離公式、勾股定理、非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求拋物線與坐標軸的交點，學(xué)會理由參數(shù)解決問題，本題有一定的代數(shù)技巧，巧用非負數(shù)的性質(zhì)這個突破口，屬于中考壓軸題．