Question

7．一次國(guó)際龍舟拉力賽中，上午9時(shí)，參賽龍舟同時(shí)出發(fā)，其中甲、乙兩隊(duì)在比賽時(shí)，路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，甲隊(duì)在上午11時(shí)30分到達(dá)終點(diǎn)．
（1）哪個(gè)隊(duì)先到達(dá)終點(diǎn)？求乙隊(duì)上午幾時(shí)追上甲隊(duì)；
（2）在比賽過(guò)程中，甲、乙兩隊(duì)何時(shí)相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）甲隊(duì)在上午11時(shí)30分到達(dá)終點(diǎn)，共花時(shí)間2.5小時(shí)，從圖象上看乙隊(duì)花時(shí)間少，先到終點(diǎn)．從圖象來(lái)看，乙隊(duì)的路程與時(shí)間成正比例關(guān)系，甲隊(duì)的路程與時(shí)間是一個(gè)分段函數(shù)，即在1小時(shí)內(nèi)是正比例函數(shù)，在1到2.5小時(shí)是一次函數(shù)，可使用待定系數(shù)法分別求出．乙隊(duì)追上甲隊(duì)時(shí)，兩隊(duì)的路程相等，列出方程可求解；
（2）由圖看出1小時(shí)之內(nèi)，兩隊(duì)相距最遠(yuǎn)距離是4千米；乙隊(duì)追上甲隊(duì)后，兩隊(duì)的距離也可計(jì)算，相比較得出甲、乙兩隊(duì)在出發(fā)后1小時(shí)相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）由題意知，甲上午9時(shí)出發(fā)，上午11時(shí)30分到達(dá)終點(diǎn)，耗時(shí)2.5小時(shí)，
根據(jù)圖象可知，乙比甲先到達(dá)終點(diǎn)；
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y_甲=kx，
將（1，20）代入，得：20=k，即y_甲=20x；
當(dāng)1＜x≤2.5時(shí)，y_甲=kx+b，
將（1，20）、（2.5，36）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=20}\\{2.5k+b=36}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{32}{3}}\\{b=\frac{28}{3}}\end{array}\right.$，
∴y_甲=$\left\{\begin{array}{l}{20x}&{（0≤x≤1）}\\{\frac{32}{3}x+\frac{28}{3}}&{（1＜x≤2.5）}\end{array}\right.$，
設(shè)y_乙=mx，
將（1，16）代入得：10=m，即y_乙=16x，
令y_甲=y_乙，當(dāng)1＜x≤2.5時(shí)，$\frac{32}{3}$x+$\frac{28}{3}$=16x，得x=$\frac{7}{4}$，
故出發(fā)1小時(shí)45分鐘后（或者上午10點(diǎn)45分）乙隊(duì)追上甲隊(duì)；

（2）由圖象可知小時(shí)之內(nèi)，兩隊(duì)相距最遠(yuǎn)距離是4千米，
乙隊(duì)追上甲隊(duì)后，兩隊(duì)的距離是16x-（$\frac{32}{3}$x+$\frac{28}{3}$）=$\frac{16}{3}$x+$\frac{28}{3}$，
∴當(dāng)x為最大，即x=$\frac{36}{16}$=$\frac{9}{4}$時(shí)，$\frac{16}{3}$x+$\frac{28}{3}$最大，
此時(shí)最大距離為$\frac{9}{4}$×$\frac{16}{3}$-$\frac{28}{3}$=$\frac{8}{3}$＜4，
所以比賽過(guò)程中，甲、乙兩隊(duì)在出發(fā)后1小時(shí)（或者上午10時(shí)）相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵．