Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若將沿翻折點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使恰好落在軸上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，

【解析】

（1）先設(shè)設(shè)拋物線解析式為，然后用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由S△PAD=S△PHA+S△PHD，然后將S△PAD表示出來，最后求最值即可；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)或左側(cè)兩種情況，分別運(yùn)用解直角三角形以及相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

解得

所以拋物線解析式為；

如圖，由已知拋物線過點(diǎn)交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)

所以可得的坐標(biāo)為，

且軸設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的解析式為

把的坐標(biāo)代入得

解得

所以直線的解析式為

過點(diǎn)作軸的垂線，分別交軸于點(diǎn)，連結(jié)

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以

所以

當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

存在滿足條件的點(diǎn)，顯然點(diǎn)在直線下方．

設(shè)直線交軸于，點(diǎn)的坐標(biāo)為

① 當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)（如圖 ），

又，

即

解得

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

② 當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)（如圖 2）此時(shí)，

又，

即

解得

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為

．