Question

如圖，A，B，C為⊙O上的三點，且有

AB

=

BC

=

CA

，連接AB，BC，AC．
（1）試確定三角形ABC的形狀并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為1，求BC的長．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系,等邊三角形的判定與性質,垂徑定理

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關系，由

AB

=

BC

=

CA

得到AB=BC=AC，則可判斷△ABC的形狀；
（2）作OB⊥BC于D，連結OB，如圖，由△ABC為等邊三角形得到點O為△ABC的內心，則∠OBD=30°，根據(jù)垂徑定理得到BD=CD，然后在Rt△OBD中利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出OD=

1

2

OB=

1

2

，BD=

3

OD=

3

2

，所以BC=

3

．

解答：解：（1）△ABC為等邊三角形．理由如下：
∵

AB

=

BC

=

CA

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）作OB⊥BC于D，連結OB，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴點O為△ABC的內心，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△OBD中，∵∠OBD=30°，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

，
∴BD=

3

OD=

3

2

，
∴BC=2BD=

3

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了等邊三角形的判定與性質和垂徑定理．