Question

2．現(xiàn)有兩塊等腰直角形三角板，如圖，把其中一塊三角板A′B′C′的一個(gè)銳角頂點(diǎn)B'放在另一塊三角板ABC斜邊AB的中點(diǎn)處，并使三角板A′B′C′繞著點(diǎn)B′旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)兩塊三角板相對(duì)位置如圖①，即AC與A′B′交于點(diǎn)D，BC與B′C′交于點(diǎn)E時(shí)，求證：△AB′D∽△BEB′：
（2）當(dāng)兩塊三角板相對(duì)位置如圖②，即AC邊的延長線與A′B′交于點(diǎn)D，BC與B′C′交于點(diǎn)E時(shí)，△AB′D與△BEB′還相似嗎？（直接給出結(jié)論．不需證明）
（3）在圖②中，連結(jié)DE，試探究△AB′D與△B′ED是否相似，并說明理由或給出證明．
（4）在圖①中，若△ABC改為角C等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要滿足∠A′B′C′=15°時(shí)，仍有△AB′D∽△BEB′．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知∠A=∠B=45°，然后根據(jù)∠ADB′+∠A=∠A′B′C′+∠EB′B，從而可證明：∠ADB′=∠EB′B，從而可證明兩三角形相似；
（2）根據(jù)（1）的思路證明：∠A=∠B，∠ADB′=∠EB′B，從而可證明兩三角形相似；
（3）由（2）可知△AB′D∽△BEB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知$\frac{AD}{BB′}=\frac{B′D}{EB′}$，因?yàn)锽B′=AB′，從而可得到$\frac{AD}{AB′}=\frac{B′D}{B′E}$，又因?yàn)椤螦=∠A′B′C′=45°，從而可證明△AB′D∽△B′ED；
（4）當(dāng)∠A′B′C′=15°時(shí)，可證明∠ADB′=∠EB′B，∠A=∠B，從而可證明兩三角形相似．

解答 證明：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：∠A=∠B=∠A′B′C′=45°，
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-45°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-45°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．
（2）相似．
如下圖：

理由：由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：∠A=∠B=∠A′B′C′=45°，
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-45°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-45°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．
（3）由（2）可知
∴△AB′D∽△BEB′，
∴$\frac{AD}{BB′}=\frac{B′D}{EB′}$，
又∵BB′=AB′，
∴$\frac{AD}{AB′}=\frac{B′D}{B′E}$，
又∵∠A=∠A′B′C′=45°．
∴△AB′D∽△B′ED．
（4）當(dāng)∠A′B′C′=15°時(shí)，△AB′D∽△BEB′．
理由：∵∠C=150°，AC=BC，
∴∠A=∠B=15°．
∵∠BB′D=∠ADB′+∠A，∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B，
∴∠ADB′=∠BB′D-∠A=∠BB′D-15°，∠EB′B=∠BB′D-∠A′B′C′=∠BB′D-15°．
∴∠ADB′=∠EB′B．
又∵∠A=∠B，
∴△AB′D∽△BEB′．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，利用三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得∠ADB′=∠EB′B是解題的關(guān)鍵．