Question

已知?ABCD中，AP⊥CD交直線CD于P，當∠PDA=2∠ACD，且AD=5，AP=4時，求?ABCD的面積是多少．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,勾股定理

專題：分類討論

分析：分兩種情況：①如圖1，當垂足P在CD上時，在PC上截取PE=PD，連結AE；②如圖2，當垂足P在CD的延長線上時；分兩種情況，根據(jù)條件得到CD的長，再根據(jù)平行四邊形面積公式即可求解．

解答：解：①如圖1，當垂足P在CD上時，在PC上截取PE=PD，連結AE．
則AE=AD，
∠AED=∠PDA，
∵∠PDA=2∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CAE，
∴2∠ACD=∠ACD+∠CAE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CE=AE=AD=5，
∵DE=2PD=2

AD2-AP2

=6，
∴CD=DE+CE=11，
∴?ABCD的面積=CD•AP=44；
②如圖2，當垂足P在CD的延長線上時，
∵∠PDA=2∠ACD，∠PDA=∠ACD+∠CAD，
∴2∠ACD=∠ACD+∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=5，
∴?ABCD的面積=CD•AP=20．
故?ABCD的面積是44或20．

點評：考查了平行四邊形的性質和勾股定理，解題關鍵是得到CD的長，注意分類思想的應用．