Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC、OB交于點(diǎn)D，且OA、OB的長(zhǎng)是方程x²-12x+32=0的兩根（OA＜OB）．
（1）求直線AC的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，連接OP．設(shè)△OPD的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）若點(diǎn)M是直線AC上一點(diǎn)，則在平面上是否存在點(diǎn)N，使以A、B、M、N為頂點(diǎn)四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法可得出直線AC的解析式；
（2）需要分兩段進(jìn)行討論，①點(diǎn)P在線段AD上，②點(diǎn)P在射線DC上，然后根據(jù)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，可分兩種情況進(jìn)行討論，①AB=AM，②BM=AB，③AM=AN，從而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OA、OB的長(zhǎng)x²-12x+32=0的兩根，OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的相反數(shù)，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，-4），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則

8k+b=-4 b=4

，
解得：

k=-1 b=4

，
故直線AC的解析式為：y=-x+4；

（2）由（1）可得OB=8，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），
即OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，AD=4

2

，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，此時(shí)t＜4

2

；

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA，PF⊥OB，則可得AP=t，
在RT△AEP中，EP=

2

2

t，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

2

2

t，
∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：-

2

2

t+4，
此時(shí)S_△OPD=

1

2

OD×P_{縱坐標(biāo)}=8-

2

t（t＜4

2

）；
②當(dāng)點(diǎn)P在射線DC上時(shí)，此時(shí)t＞4

2

PD=AP-AD=t-4

2

，
在RT△PDM中，PM=DPcos∠DPM=DP×

2

2

=

2

2

t-4，
此時(shí)S_△OPD=

1

2

OD×P_{縱坐標(biāo)}=

2

t-8（t＞4

2

）；

（3）存在符合題意的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

①當(dāng)AB=AM時(shí)，在RT△MAH中，MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2

10

，AH=2

10

，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2

10

，4+2

10

），
又∵M(jìn)N平行且相等AB，
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x，y），則（x+0，y+4）=（-2

10

+8，4+2

10

+0）
∴x=8-2

10

，y=2

10

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8-2

10

，2

10

）．
②當(dāng)BM=AB時(shí)，

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，-x+4），點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，b），
∵四邊形ABMN是菱形，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（8，0），
∴（x+0，-x+4+4）=（a+8，b+0），
∴a=x-8，b=-x+8，即點(diǎn)N坐標(biāo)為（x-8，-x+8），
又∵BM=AB=4

5

，
∴

(x-8)2+(-x+4-0)2

=4

5

，
解得：x=12或x=0（與點(diǎn)A重合，舍去），
故此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-4）；
③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，-x+4），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（8-x，x），
∵此時(shí)AM=AN，
即可得：

(x-0)2+(-x+4-4)2

=

(8-x-0)2+(x-4)2

，
解得：x=

10

3

，
則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

14

3

，

10

3

）．
綜上可得符合題意的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8-2

10

，2

10

）或（4，-4）或（

14

3

，

10

3

）；

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及了菱形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及解直角三角形的知識(shí)，難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵是先確定點(diǎn)M的位置，注意分類(lèi)討論，不要漏解，難度較大．