Question

（2013•寶山區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，E、F分別是AC，BC邊上一點，且CE=

1

4

AC，BF=

1

4

BC，
（1）求證：

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）求∠EDF的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）證相關(guān)線段所在的三角形相似即可，即證Rt△ADC∽Rt△CDB；
（2）易證得CE：BF=AC：BC，聯(lián)立（1）的結(jié)論，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易證得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，則∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AC

CB

=

CD

DB

；

  （2）解：∵CE=

1

4

AC，BF=

1

4

BC，
∴

CE

BF

=

1 4 AC

1 4 BC

=

AC

CB

=

CD

DB

，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．

點評：此題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)；識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．