Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．證明：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

【答案】分析：要證明BD²=AB²+BC²，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一個三角形中，連接AC，將△DCB繞點C旋轉60°到△ACE的位置，連接EB，證明△ABE是直角三角形即可．
解答：證明：如圖，連接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
將△DCB繞點C順時針旋轉60°到△ACE的位置，連接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE為正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE²=AB²+BE²．
∴BD²=AB²+BC²．
點評：能夠充分運用旋轉的性質，把要證明的線段轉換到一個三角形中，根據(jù)旋轉的性質發(fā)現(xiàn)一個直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可證明．