Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，P，Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H．若由E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則該菱形的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,矩形的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)

專題：

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，可證明矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D均在菱形EFGH的邊上，且點(diǎn)A、C分別為各自邊的中點(diǎn)；繼而證明菱形的邊長(zhǎng)等于矩形的對(duì)角線長(zhǎng)；然后求出線段AP的長(zhǎng)度，證明△AOP為等腰三角形；再利用勾股定理求出線段OP的長(zhǎng)度；則同理求出OQ的長(zhǎng)度，從而得到PQ的長(zhǎng)度．

解答：解：由矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，可得對(duì)角線AC=BD=

AB2+CD2

=2

3

．
依題意畫出圖形，如右圖所示．
由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴點(diǎn)A在菱形EFGH的邊EF上．
同理可知，點(diǎn)B、C、D均在菱形EFGH的邊上．
∵AP=AE=AF，
∴點(diǎn)A為EF中點(diǎn)．
同理可知，點(diǎn)C為GH中點(diǎn)．
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形，
∴FG=AC=2

3

，
即菱形EFGH的邊長(zhǎng)等于矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)．
∴EF=FG=2

3

，
∵AP=AE=AF，
∴AP=

1

2

EF=

3

．
∵OA=

1

2

AC=

3

，
∴AP=AO，
即△APO為等腰三角形．
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BD交BD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OP的中點(diǎn)．
由S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

AC•AN，
可求得：AN=

2 6

3

．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON=

OA2-AN2

=

3

3

，
∴OP=2ON=

2 3

3

；
同理可求得：OQ=

2 3

3

，
∴PQ=OP+OQ=

4 3

3

．
故答案為：

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換綜合題，難度較大．首先根據(jù)題意畫出圖形，然后結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)進(jìn)行分析，明確線段之間的數(shù)量關(guān)系，最后由等腰三角形和勾股定理求得結(jié)果．