Question

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分線，交AC于點D，CE⊥AB于點E，交BD于點O，過O點作FG∥AB，交BC于點F，交AC于點G．
求證：CD=GA．

Answer 1

證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEO=90°，
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴OC=DC，
過點D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB于H，DC⊥BC于C，
∴DC=DH，
∵DC=OC，
∴OC=DH，
∵FG∥AB，
∴∠6=∠A，
∵DH⊥AB，CE⊥AB，
∴DH∥CE，
∴∠ADH=∠GCE，
∵在△COG和△DHA中

∴△COG≌△DHA，
∴CG=DA，
∴CG-CD=DA-DG，
即CD=AG．
分析：過點D作DH⊥AB于H，先求出∠3=∠5，推出DC=OC，再證△COG≌△DHA，推出CG=AD，都減去DG即可得出答案．
點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，定義三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．