Question

2．如圖，在△ABC中，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個條件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③BE=CD．
（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形；（用序號寫出所有情形）
（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定性質(zhì)，可得OB與OC的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠OBC與∠OCB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)AAS，可得OB與OC的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠OBC與∠OCB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）由①③和②③都可以判定△ABC是等腰三角形；
（2）選擇①③，證明如下：
證明：在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴BO=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的兩底角相等）．
∵∠1+∠OBC=∠2+∠OCB（等式的性質(zhì)），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角對等邊），
即△ABC是等腰三角形．
選擇②③時，證明如下：
證明：在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴∠1=∠2（全等三角形的對應(yīng)角相等），
∴BO=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的兩底角相等）．
∵∠1+∠OBC=∠2+∠OCB（等式的性質(zhì)），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角對等邊），
即△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了等要三角形的判定，利用全等三角形的判定性質(zhì)得出OB與OC的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了等腰三角形的性質(zhì)與判定．