Question

【題目】探究：

（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．

（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠A＝∠P，理由見解析；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進行解答即可：

（2）根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果，

（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明.

證明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．

又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，

∠PCB＝∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；

（2）∠A＝∠P，理由如下：

∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．

∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，

∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，

∴∠ACP＝∠ABC+∠A，

∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，

∴∠A＝∠P．

（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：

∵P點是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）

＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝180°﹣（∠A+180°）

＝90°﹣∠A．