Question

如圖，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M、N，
（1）求證：△AMB∽△AND； 
（2）求證：

AM

AB

=

MN

AC

．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質得∠B=∠D，AD=BC，再由AM⊥BC，AN⊥CD得到∠AMB=∠AND=90°，然后根據相似三角形的判定方法即可得到結論；
（2）由△AMB∽△AND得到

AM

AN

=

AB

AD

，由于BC=AD，則

AM

AN

=

AB

BC

，由AD∥BC得∠DAM=∠AMB=90°，則∠MAN=90°-∠DAN，根據等角的余角相等得到∠MAN=∠D，所以∠B=∠MAN，根據有兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似可判斷△AMN∽△BAC，然后根據三角形相似的性質即可得到結論．

解答：證明：（1）∵ABCD為平行四邊形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∴△AMB∽△AND；

（2）∵△AMB∽△AND，
∴

AM

AN

=

AB

AD

，
而AD=BC，
∴

AM

AN

=

AB

BC

①，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB=90°，
∵∠MAN=90°-∠DAN，
而∠D=90°-∠DAN，
∴∠MAN=∠D，
而∠D=∠B，
∴∠B=∠MAN②，
由①②得△AMN∽△BAC，
∴

AM

AB

=

MN

AC

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．也考查了平行四邊形的性質．