Question

如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連接OB，且OB=6，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BD的垂線(xiàn)，垂足為C，AD平分∠BAC．
（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，由OA=OD得∠1=∠2，由AD平分∠BAC得∠1=∠3，則∠2=∠3，于是可判斷OD∥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得OD⊥BD，則根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）利用OD∥AC得到△BOD∽△BAC，然后利用相似比可計(jì)算出AC．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
而AC⊥BD，
∴OD⊥BD，
∴BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

BO

BA

=

OD

AC

，即

6

6+4

=

4

AC

，
∴AC=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)．