Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC邊上的點(diǎn)，CD＝1，將△ACD沿直線(xiàn)AD翻折，點(diǎn)C剛好落在AB邊上的點(diǎn)E處．若P是直線(xiàn)AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是______．

Answer 1

【答案】1+

【解析】連接CE，交AD于M，

∵沿AD折疊C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD。

∴AD垂直平分CE，即C和E關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，CD=DE=1。

∴當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的值最小，即可此時(shí)△BPE的周長(zhǎng)最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC。

∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°。

∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+。

∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°。

∴AB=2BC=2×（1+）=2+。AC=BC=+2。

∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=。

∴△PEB的周長(zhǎng)的最小值是BC+BE=1++=1+。