Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF的周長(zhǎng)不變；③點(diǎn)C到線段EF的最大距離為1．其中正確的結(jié)論有　　．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

①③【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，EF取最小值，得到EF的值是變化的，DE和DF也是變化的，于是四邊形CEDF的周長(zhǎng)變，不正確，

③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離是1．

【解答】解：①連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．

∴①正確；

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，EF取最小值，

∴EF的值是變化的，

∴DE和DF也是變化的，

∴四邊形CEDF的周長(zhǎng)變，

∴②不正確，

③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，

當(dāng)EF∥AB時(shí)，∵AE=CF，

∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是△ABC的中位線，

∴EF取最小值=2，

∵CE=CF=，

∴此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離=EF=1，

∴③正確，

故答案為：①③

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，找到EF∥BC時(shí)取最小值是解題關(guān)鍵．