Question

直線y=-

3

3

x+3和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-

3

，0），另一條直線經(jīng)過點(diǎn)A、C．
（1）求線段AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）動點(diǎn)M從B出發(fā)沿BC運(yùn)動，速度為1秒一個單位長度．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)時停止運(yùn)動．設(shè)M運(yùn)動t秒時，△ABM的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時，S=0.5S_△ABC，求出對應(yīng)的t值；
③當(dāng)t=4時，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）①根據(jù)M的運(yùn)動時間及運(yùn)動速度，可得BM的長，根據(jù)正切函數(shù)值，可得∠B的大小，再根據(jù)正弦函數(shù)，可得MD的長，根據(jù)線段的和差，可得AB的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)等底三角形面積間的S=0.5S_△ABC的關(guān)系，可得MD=

1

2

OB，可得答案；
③根據(jù)∠P₁BM的余弦，可得BP₁的長，根據(jù)線段的和差，可得P₁的坐標(biāo)，根據(jù)余角的關(guān)系，可得∠P₂BO的大小，再根據(jù)∠P₂BO的余切，可得OP₂的長．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時，-

3

3

x+3=0，解得x=3

3

，即B（3

3

，0）
當(dāng)x=0時，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．
設(shè)線段AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，凸顯非經(jīng)過A、C點(diǎn)，得

- 3 k+b=0 b=3

，
解得

k= 3 b=3

．
故線段AC所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=

3

x+3；
（2）如圖1：

①由動點(diǎn)M從B出發(fā)沿BC運(yùn)動，速度為1秒一個單位長度，行駛t秒，得BM=t，
由線段的和差，得AB=3

3

-（-

3

）=4

3

，
由正切函數(shù)，得tan∠B=

OC

OB

=

3

3 3

=

3

3

，∠B=30°，
由正弦函數(shù)，得MD=BM•sin∠B=

1

2

t．
由三角形面積公式，得S=

1

2

AB•MD=

1

2

×

1

2

t×4

3

=

3

t
即S=

3

t；
②由S=0.5S_△ABC，得MD=

1

2

OC=

3

2

，即

1

2

t=

3

2

，解得t=3，
當(dāng)t=3時，S=0.5S_△ABC；
③如圖2：
，
當(dāng)t=4時，P₁（

3

3

，0），P₂（0，-9）使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)得出三角形的高，利用了三角形的面積公式，利用了三角形的正切函數(shù)．