Question

7．已知二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，0）和點(diǎn)B，其中點(diǎn)B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）求二次函數(shù)的解析式．
（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連結(jié)AC，如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABC和△PAB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)正切的定義可設(shè)BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出x，則BD=4，OD=3，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4）；
（2）利用待定系數(shù)法可確定二次函數(shù)的解析式；
（3）先確定C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，4），則BC=11，AB=4$\sqrt{5}$，由CB∥x軸得到∠ABC=∠BAP，再分類討論：當(dāng)△ABC∽△BAP；當(dāng)△ABC∽△PAB，然后利用比例線段求AP的長(zhǎng)，從而確定P點(diǎn)坐標(biāo)

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，如圖，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵tan∠BAO=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$
∴設(shè)BD=x，AD=2x．
∵OA=0B=5，
∴OD=2x-5，
在Rt△ODB中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（2x-5）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去），
∴BD=4，OD=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4），
（2）∵根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}25a-5b=0\\ 9a+3b=4\end{array}\right.$，解這個(gè)方程組，得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{6}\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x．

（3）如圖2，∵直線BC平行于x軸，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，4）．
由題意得$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m=4，解得m₁=3（不合題意，舍去），m₂=-8，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，4），BC=11，AB=4$\sqrt{5}$．
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴AP=11，點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（6，0），
②如果△ABC∽△PAB，那么$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AP=$\frac{80}{11}$，點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（$\frac{25}{11}$，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（$\frac{25}{11}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．