Question

（2013•紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．
（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1：

3

，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC：AB=1：2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=

1

2

BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=

3

2

AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF：EG的值．

解答：（1）證明：如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，

∠CAD=∠B ∠ADC=∠BFE=90° AC=BE

，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：

3

，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B=

EQ

BE

=

1

2

，
∴EQ=

1

2

BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH=

EH

AE

=

3

2

，
∴EH=

3

2

AE．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=

1

2

BE：

3

2

AE=1：

3

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．