Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線PE，并與y軸交于點(diǎn)E．
（1）請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：

 

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PD=PE？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AD=AB=4，即可求出答案；
（2）證△DAP∽△POE，得出比例式，代入后得出二次函數(shù)的解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分為兩種情況：P在y軸的左側(cè)，P在y軸的右邊，證全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=OP，即可得出答案．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=AD=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-3，4），
故答案為：（-3，4）；

（2）設(shè)PA=t，OE=y，
∵∠DAP=∠POE=∠DPE=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠APD+∠EPO=90°，
∴∠ADP=∠EPO，
∴△DAP∽△POE，
∴

4

3-t

=

t

y

，
∴y=-

1

4

t²+

3

4

t=-

1

4

（t-

3

2

）²+

9

16

，
∴當(dāng)AP=t=

3

2

時，OE最大為

9

16

；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，

在△PAD和△EOP中

∠DAP=∠POE AD=PE ∠ADP=∠EPO

∴△PAD≌△EOP（ASA），
∴OP=AD=4，
即P（-4，0）；
由△PAD≌△E0P
同理當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，

由△PAD≌△E0P推出OP=AD=4，
即P（4，0）．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力，用了分類討論思想．