Question

16．如圖1，在?ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G．

（1）若$\frac{AF}{EF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（2）如圖2，在（1）的條件下，若$\frac{AF}{EF}$=a（a≠0），求$\frac{DG}{AB}$的值（用含a的代數(shù)式表示）
（3）如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F，若$\frac{AB}{CD}$=m，$\frac{BC}{BE}$=n（m＞0，n＞0），求$\frac{AF}{EF}$的值．（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H．由△ABF∽△EHF，推出$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，推出AB=3EH，由四邊形ABCD是平行四邊形，EH∥AB，推出EH∥CD，AB=CD
又E為BC中點，推出EH為△BCG的中位線，推出CG=2EH，即可推出$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$．     
（2）如圖2中，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB，推出$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=a，推出AB=a•EH，由AB=CD，推出CD=a•EH，由EH∥AB∥CD，推出△BEH∽△BCG．推出$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，推出CG=2EH，推出DG=CD-CG=（a-2）EH，由此即可解決問題．
（3）如圖3中，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．由EH∥CD，推出△BCD∽△BEH，推出$\frac{CD}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=n，推出CD=nEH，又$\frac{AB}{CD}$=m，推出AB=mCD=mnEH，由EH∥AB，推出△ABF∽△EHF，即可推出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=mn．

解答 解：（1）如圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H．

則有△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∴AB=3EH．                                      
∵四邊形ABCD是平行四邊形，EH∥AB，
∴EH∥CD，AB=CD，
又∵E為BC中點，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$．                          

（2）如圖2中，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．

∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=a，
∴AB=a•EH，
∵AB=CD，
∴CD=a•EH，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴CG=2EH，
∴DG=CD-CG=（a-2）EH，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{a-2}{a}$．

（3）如圖3中，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴$\frac{CD}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=n，
∴CD=nEH，
又$\frac{AB}{CD}$=m，
∴AB=mCD=mnEH，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=mn．

點評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．