Question

已知，如圖，E、F分別是AB、AC的中點，∠ACD是△ABC的外角，延長EF交∠ACD的平分線于G點，求證：AG⊥CG．

Answer 1

【答案】分析：利用三角形中位線定理推知EF∥BC．所以利用平行線的性質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定證得FG=FC．又由AF=CF，則FG是△ACG中AC邊上的中線，且，故△AGC是直角三角形．
解答：證明：∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，AF=CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCD．
∵CG平分∠ACD，
∴∠FCG=∠GCD，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FG=FC．
又∵AF=CF，
∴FG是△ACG中AC邊上的中線，且，
∴△AGC是直角三角形，
∴AG⊥CG．
點評：本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線定理．一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．