Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點A（n，m）在第一象限，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，（m-3）²+n²=6n-9，過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點．
（1）求m、n的值并寫出A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）若OF+BE=AB，求證：CF=CE；
（3）如圖（2），若∠ECF=45°，給出兩個結(jié)論：①OF+AE-EF的值不變； ②OF+AE+EF的值不變，其中有且只有一個結(jié)論正確，請你判斷出正確的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）已知等式變形后，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出m與n的值，即可確定出A，B，C的坐標(biāo)；
（2）由AE+EB=AB，以及OF+BE=AB，得到AE=OF，根據(jù)四邊形ABOC為正方形，得到CA=CO，且∠A=∠COF=90°，利用SAS得到三角形ACE與三角形OCF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CF=CE；
（3）結(jié)論①正確，即OF+AE-EF的值不變，理由為：在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，連接CH，利用SAS得到三角形ACE與三角形OCH全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EC=HC，∠1=∠2，根據(jù)∠ACO=90°，∠ECF=45°，得到∠1+∠3=45°，等量代換得到∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，利用SAS得到三角形ECF與三角形HCF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=HF，而HF=OH+OF，等量代換得到EF=AE+OF，即AE+OF-EF=0．

解答：解：（1）將（m-3）²+n²=6n-9變形得：（m-3）²+（n-3）²=0，
∴m=3，n=3，
∴A（3，3），B（3，0），C（0，3）；
（2）∵OF+BE=AB，AE+EB=AB，
∴AE=OF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=OC，∠A=∠COF=90°，
在△ACE和△OCF中，

AC=OC ∠A=∠COF AE=OF

，
∴△ACE≌△OCF（SAS），
∴CF=CE；
（3）結(jié)論①正確，即OF+AE-EF的值不變，理由為：
在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，連接CH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=OC，∠A=∠COH=90°，
在△ACE和△OCH中，

AC=OC ∠A=∠COH=90° AE=OH

，
∴△ACE≌△OCH（SAS），
∴∠1=∠2，EC=HC，
∵∠ACO=90°，∠ECF=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，
在△ECF和△HCF中，

CE=CH ∠ECF=∠HCF CF=CF

，
∴△ECF≌△HCF（SAS），
∴EF=HF=HO+OF=AE+OF，
則OF+AE-EF=0．

點評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．