Question

如圖，CA、CB為⊙O的切線，切點分別為A、B．直徑延長AD與CB的延長線交于點E．AB、CO交于點M，連接OB．

（1）求證：∠ABO=∠ACB；

（2）若sin∠EAB=，CB=12，求⊙O 的半徑及的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）4，．

【解析】

試題分析：（1）證明∠ABO =∠BCO即可證得∠ABO=∠ACB.

（2）由sin∠BCO =sin∠EAB=可求得＝，從而由CB＝12求得⊙O 的半徑OB為4；由△OBE∽△CAE列比例式得＝．

（1）∵CA、CB為⊙O的切線，

∴ CA=CB， ∠BCO=∠ACB，∴∠CBO=90°．∴ CO⊥AB．

∴ ∠ABO +∠CBM=∠BCO +∠CBM=90°．∴ ∠ABO =∠BCO．∴ ∠ABO=∠ACB．

（2） ∵ OA＝OB， ∴∠EAB=∠ABO．∴ ∠BCO＝∠EAB．

∵ sin∠BCO =sin∠EAB=，∴ ＝．

∵ CB＝12，∴ OB＝4， 即⊙O 的半徑為4．

∵∠OBE＝∠CAE＝90°，∠E＝∠E，∴△OBE∽△CAE．∴＝．

∵CA＝CB＝12，∴＝．

考點：1.切線的性質；2.等腰三角形的性質；3銳角三角函數(shù)定義；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質.