Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)A（-3，y₁）在第三象限，點(diǎn)B（1，y₂）在第四象限，線段AB交y軸于點(diǎn)D．若∠AOB=90°，S_△AOD=2，則sin∠AOD•sin∠BOD的值為$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，易得∠OAC=∠AOD=α，又由∠AOB=90°，易得∠BOF=∠AOD=α，即可得在Rt△AOC中，sinα=$\frac{OC}{OA}$，在Rt△BOF中，cosα=$\frac{OF}{OB}$，又由S_△AOB求得OA•OB的值，繼而求得答案．

解答 解：過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，
設(shè)∠AOD=α，
∴AC∥y軸，
∴∠OAC=∠AOD=α，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOD=α，
在Rt△AOC中，sinα=$\frac{OC}{OA}$，
在Rt△BOF中，cosα=$\frac{OF}{BO}$，
∵S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•OC=2，
∵A（-3，y₁），點(diǎn)B（1，y₂），
∴OC=3，OF=1，
∴OD=$\frac{4}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}×$1×$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{8}{3}$，
∴OA•OB=$\frac{16}{3}$，
∴sin∠AOD•sin∠BOD=sinα•cosα=$\frac{OC}{OA}•\frac{OF}{OB}$=$\frac{OC•OF}{OA•OB}$=$\frac{3}{\frac{16}{3}}$=$\frac{9}{16}$，
故答案為：$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評 此題考查了三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．